Как найти аналитическую функцию f(z)=uiv?

Восстановим аналитическую функцию f(z)=u(x,y) + iv(x,y) по ее действительной части u(x,y)=e^x cosy + x^2 — y^2 + 3x и значению f(0)=0.

Действительная и мнимая части аналитической функции комплексного переменного являются гармоническими функциями в R^2, и следовательно, удовлетворяют уравнению Лапласа

Используя этот факт, для начала с помощью Вольфрам Альфа проверим, является ли данная функция u(x,y) гармонической, т. е. может ли она вообще являться действительной частью аналитической функции комплексного переменного. Вариантов, как сформулировать соответствующий запрос есть несколько, но я использую такой

d2/dx2 (e^x cosy + x^2 — y^2 + 3x) + d2/dy2 (e^x cosy + x^2 — y^2 + 3x)=0

Можно также использовать запросы d2/dx2 (e^x cosy + x^2 — y^2 + 3x) + d2/dy2 (e^x cosy + x^2 — y^2 + 3x) или laplace (e^x cosy + x^2 — y^2 + 3x). Они также позволяют проверить, является ли данная функция гармонической, и дают тот же ответ, хоть и несколько в иной форме.

Выполнив эту проверку, на следующем шаге нужно найти производную искомой функции f(z), которая, согласно теории, дается одним из выражений

Первое из этих выражений используется, когда задана действительная часть искомой функции f(z), а второе — если известна ее мнимая часть.

В нашем случае, выражение для производной функции f(z) получим из первого выражения, а именно:

d/dx (e^x cosy + x^2 — y^2 + 3x) -i d/dy (e^x cosy + x^2 — y^2 + 3x), y=0, x=z