Как решить уравнение теплопроводности методом фурье?
Как решить уравнение теплопроводности методом фурье?
Поделиться
Введите адрес электронной почты, который вы использовали при регистрации. Вы получите ссылку на сброс пароля
Напишите причину обращения
Рассмотрим задачу о распространении тепла в стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре. Задача состоит в отыскании решения уравнения теплопроводности:
ut = a2uxx
при граничных условиях:
u|x=0 = 0; u|x=l = 0,
и при начальном условии:
u|t=0 = j(x),
где j(x) – непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и обращается в ноль при x = 0 и x = l.
Будем решать эту задачу методом Фурье. Согласно методу Фурье ищем сначала частные решения уравнения в виде произведения двух функций:
u(x,t) = X(x)×T(t).
Подставляя u(x,t) в исходное уравнение, имеем:
X(x)×T'(t) = a2T(t)X»(x).
Разделяем переменные
получаем два уравнения:
T'(t) + a2lT(t) = 0,
X»(x) + lX(x) = 0.
Чтобы получить нетривиальное решение уравнения в виде произведения двух функций, удовлетворяющее граничным условиям, необходимо найти нетривиальное решение уравнения:
X»(x) + lX(x) = 0,
удовлетворяющего граничным условиям:
X(0) = 0; X(l) = 0.
Таким образом, для определения функций X(x) мы приходим к задаче о собственных значениях, т.е. приходим к следующей задаче: найти такие значения параметра l, при которых существует нетривиальные решения, удовлетворяющие граничным условиям.