Изучение свойств строительных материалов — та сфера деятельности, в которой проводится большое количество экспериментов для получения зависимости этих свойств от различных факторов (температуры, времени и т. д.). Может случиться, что такая зависимость выражается формулой, выведенной теоретически. Но во многих случаях такая формула неизвестна и зависимость между величинами устанавливается на основе полученных результатов измерений путём аналитического поиска вида функции, приближенно выражающей её.
Использование методов математического планирования для установления зависимости между случайными величинами, полученными в результате эксперимента, имеет важное практическое значение. Наиболее эффективными методами для достижения этой цели являются метод наименьших квадратов и метод нахождения уравнения линейной регрессии.
В данной статье эти методы будут использоваться для исследования зависимости прочности затвердевания строительного гипса от объёмной концентрации твёрдой фазы через 2 часов и 7 суток твердения.
Строительный гипс находит применение среди современных строительных и отделочных материалов и используется главным образом для производства гипсовых и гипсобетонных изделий, применяемых во внутренних частях зданий. Для получения прочных изделий необходимо повышать прочность строительного гипса. Для этого выявив закономерность между исследуемыми величинами можно будет сделать вывод о том, каким образом лучше повышать прочность материала.
По методу наименьших квадратов проведём вычисления линейного приближения. Пусть прочность затвердевания 
, время твердения 2 часа, объёмная концентрация твёрдой фазы
, приближающая функция 
и известны результаты измерений:
Таблица 1.
Экспериментальные данные для проведения исследования
 |
0,608 | 0,61 | 0,613 | 0,634 | 0,682 | 0,713 | 0,73 | 0,754 | 0,793 | 0,842 |
 |
5,1 | 5,3 | 6 | 6,5 | 7 | 7,5 | 9 | 10,6 | 13,1 | 13,6 |
Составим систему уравнений, из которой найдём коэффициенты 
:
Результаты промежуточных вычислений сведём в таблицу 2.
Таблица 2.
Промежуточные расчёты
 |
 |
 |
 |
 |
| 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
0,608
0,61 0,613 0,634 0,682 0,713 0,73 0,754 0,793 0,842 |
5,1
5,3 6 6,5 7 7,5 9 10,6 13,1 13,6 |
0,37
0,372 0,376 0,402 0,465 0.508 0,533 0,568 0,629 0,709 |
3,1
3,233 3,678 4,121 4,774 5,348 6,57 7,992 10,388 11,451 |
| Σ | 6,979 | 83,7 | 4,932 | 60,655 |
Решив данную систему уравнений получим:
Таким образом, зависимость имеет вид:
Построим график функции и в той же системе координат график по исследуемым точкам (рис. 1).
Рисунок 1. Графики аналитической и экспериментальной зависимостей между прочностью затвердевания и объёмной концентрацией твёрдой фазы после 2 часов твердения
После 2 часов твердения гипс представляет собой твёрдую систему, но не обладает окончательной кристаллизацией. Это является причиной того, что график, построенный по исследуемым точкам, только приближается к линейной зависимости.
На основе тех же данных найдём уравнение линейной регрессии, которое имеет вид:
Коэффициенты 
и 
найдём по формулам:
Подставив значения, получим:
Таким образом, уравнение линейной регрессии будет иметь вид:
Используя два различных метода математического планирования эксперимента мы получили приблизительно одинаковые уравнения. На их основе можно сделать вывод о приближении к линейной зависимости прочности затвердевания гипса от объёмной концентрации твёрдой фазы. К двум часам твердения гипс обладает хорошо развитой кристаллизационной структурой, о чем можно судить по ее прочности, однако процессы гидратации к этому сроку в твердеющей системе еще не завершаются. В период до 7 суток твердения происходит превращение конденсационной структуры в кристаллизационную, которой свойственна достаточно высокая прочность. Поэтому аналогичные расчёты проводим для исследования зависимости через 7 суток твердения.
Полученные результаты измерений:
Таблица 3.
Экспериментальные данные для проведения исследования
|
0,801 | 0,81 | 0,817 | 0,834 | 0,843 | 0,858 | 0,863 | 0,872 | 0,895 | 0,91 |
|
12,1 | 16,4 | 22 | 25,1 | 31,6 | 35,6 | 37,5 | 41,5 | 45,6 | 51,2 |
Результаты промежуточных вычислений сведём в таблицу 4.
Таблица 4.
Промежуточные расчёты
|
|
|
|
|
| 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
0,801
0,81 0,817 0,834 0,843 0,858 0,863 0,872 0,895 0,91 |
12,1
16,4 22 25,1 31,6 35,6 37,5 41,5 45,6 51,2 |
0,642
0,656 0,668 0,696 0,711 0,736 0,745 0,76 0,801 0,828 |
9,692
13,284 17,974 20,933 26,639 30,545 32,363 36,188 40,812 46,592 |
| Σ | 8,503 | 318,6 | 7,243 | 275,022 |
Составим систему уравнений и, решив ее, получаем:
Решив данную систему уравнений получим:
Таким образом, зависимость имеет вид:
Построим график функции и в той же системе координат график по исследуемым точкам (рис. 2).
Рисунок 2. Графики аналитической и экспериментальной зависимостей между прочностью затвердевания и объёмной концентрацией твёрдой фазы после 7 суток твердения
После 7 суток твердения гипс окончательно кристаллизован, в результате чего график сглаживается и зависимость между прочностью затвердевания 
и объёмной концентрацией твёрдой фазы
является линейной.
Составим уравнение линейной регрессии:
Уравнение линейной регрессии будет иметь вид:
Как и в предыдущем случае, используя два различных метода математического планирования эксперимента, мы получили приблизительно одинаковые уравнения зависимости между исследуемыми величинами.
В результате проведённых вычислений, можно сделать вывод о том, что независимо от времени твердения зависимость между прочностью затвердевания строительного гипса и объёмной концентрацией твёрдой фазы является линейной. Для получения прочных изделий из строительного гипса его необходимо предварительно уплотнить для увеличения объёмной концентрации твёрдой фазы и как следствие прочности материала. Таким образом, использование методов математического планирования эксперимента в строительстве позволяет установить вид зависимости между исследуемыми величинами и сделать важные с практической точки зрения выводы.
Список литературы:
1.Красовский П.С. Исследование и оптимизация свойств строительных материалов с применением элементов математической статистики: учебное пособие / Красовский П.С. М.: Издательство ДВГУПС, 2004. — 128 с.
2.Лотов В.А. Влияние объемной концентрации полуводного гипса на прочность гипсовых изделий / Лотов В.А. // Строительные материалы. — 2001. — № 1. — С. 28—30.
3.Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам / Письменный Д.Т. 3-е изд. М.: Айрис-пресс, 2008. — 288 с.