Большинство алгоритмов многомерного шкалирования рассчитаны на использование симметричной матрицы близостей (сходств или различий), в которой выполняется условие равенства расстояний между точками, независимо от направления перехода d(a,b)=d(b,a). Однако существует множество ситуаций, когда это условие нарушается. Сюда относятся социометрия, исследования товарооборота между странами, взаимного цитирования, социальной мобильности, переключения между брендами и т. п. Очевидно, что различия в цитировании друг друга парой научных журналов могут нести важную информацию об относительном статусе этих журналов. Таким образом, специальное изучение асимметрии дистанционных матриц представляет интерес, по крайней мере, в случае неравноправных социальных отношений. В связи с этим, был предложен ряд моделей асимметричного многомерного шкалирования, обзор которых представлен, например, в работе [Cox & Cox, 2001]. В данной работе будет предложена очень простая интерпретация асимметричных матриц, позволяющая применять к ним классические алгоритмы неметрического многомерного шкалирования. На модельных данных будет показана валидность этой интерпретации.
Предположим, что асимметрия расстояний возникает из‑за неоднородности пространства, в котором они измеряются. Это легко себе представить на примере машины, едущей в гору (рис. 1).
Рисунок 1. Пример неоднородного пространства
Для того чтобы преодолеть расстояние x, ей необходимо затратить время t(x), причем t(x(a,b))=t(x(b,a)). Но, в случае движения автомобиля по наклонной плоскости, при одинаковой силе тяги, t(z(a,b))>t(z(b,a)). Поскольку в измерении y действует гравитационное поле. Если бы мы захотели использовать время прохождения пути z в качестве меры расстояния между a и b, то получили бы асимметричную матрицу из двух элементов t1 и t2. Первый из них превосходил бы второй, поскольку t1=t+Δ, а t2=t-Δ, где t — это время прохождения без учета силы тяжести, а Δ — поправка на эту силу. Очевидно, что t=(t1 + t2)/2, а Δ=(t1 – t2)/2. Это соответствует разложению матрицы расстояний на симметричный и несимметричный компоненты (оба из которых являются симметричными матрицами), предложенному в работе [Constantine & Gower, 1978]. Очевидно также, что Δ монотонно связана с расстоянием y, а t — с расстоянием x. Из этого следует, что симметричный компонент может быть подвергнут неметрическому многомерному шкалированию, и аналогичную процедуру можно осуществить с асимметричным компонентом. Получившиеся во втором случае измерения могут быть интерпретированы как пространство, в котором действуют силовые поля.
Предлагаемый нами подход можно резюмировать следующим образом:
1.Необходимо разложить асимметричную матрицу на симметричный и несимметричный компоненты.
2.Подвергнуть симметричный компонент многомерному шкалированию с помощью одного из неметрических алгоритмов.
3.Подвергнуть несимметричный компонент многомерному шкалированию с помощью одного из неметрических алгоритмов.
4.Совместить результаты шкалирования симметричного и несимметричного компонентов в одном пространстве.
5.Интерпретировать измерения симметричного компонента как свободные от силовых полей, несимметричного компонента — как динамические измерения.
Для того, чтобы проверить валидность предложенной интерпретации, расширим наш простой пример с двумя точками. На рисунке 2 представлен путь, который необходимо преодолеть автомобилю при движении из пункта 1 в пункт 10 и обратно. Начальная скорость автомобиля в каждой точке равна нулю.
Рисунок 2. Неоднородное пространство с множеством точек
Углы склонов, обозначенные на рисунке, составляют соответственно, 43°, –40°, 48°, –39°, 42°, –46°, 45°, –49°, 38°. Высоты точек равны 500, 1000, 300, 1500, 200, 3000, 600, 2100, 400 и 4500 метров. Масса автомобиля m=1500 кг, сила тяги F=15*103H, g=9,82 м/с2. Согласно второму закону Ньютона, ускорение при подъеме вычисляется по формуле
ускорение при спуске по формуле
Время, затрачиваемое на прохождение одного склона, определяется следующим образом:
где s — длина склона.
Произведя вычисление времени прохождения автомобиля между всеми точками в одну и другую сторону, мы получили асимметричную матрицу временных затрат:
Таблица 1.
Асимметричная матрица временных затрат