АННОТАЦИЯ. В работе, на основе метода Фурье, исследован вопрос существования регулярного решения классической краевой задачи для уравнения в частных производных второго порядка с отклоняющимся аргументом.
ABSTRACT
In this paper on the basis of the Fourier method, we investigate the question of the existence of a regular solution of the classical boundary value problem for partial differential equations of the second order with deviating argument.
Ключевые слова : краевая задача; уравнение в частных производных; отклоняющийся аргумент; метод Фурье.
Keywords: boundary value problem; partial differential equation; divergent argument; Fourier method.
Введение . Краевые задачи для уравнений в частных производных стали изучаться относительно недавно. При этом, уравнениям с дискретным отклонением аргумента посвящено немного работ (например [1—3, 6, 7]). Однако, во всех указанных работах были исследованы уравнения с отклонением аргумента в младших членах. В настоящей работе приведем доказательство разрешимости краевой задачи для уравнения с отклонением аргумента при старшей производной.
Постановка задачи
В области 
рассмотрим уравнение
, (1)
где 
– заданные постоянные, причем 
.
Для уравнения (1) в области Ω исследована следующая
Задача А . В области 
, найти решение 
уравнения (1) из класса 
, удовлетворяющее условиям:
, (2)
, (3)
где: 
— заданные, достаточно гладкие функции, причем выполнены условия согласования: 
.
Доказательство разрешимости задачи А
Для доказательства разрешимости задачи А применим метод Фурье, т.е. будем искать решение в виде
. (4)
Подставляя (4) в (1), получим
. (5)
Принимая во внимание (2), относительно 
получим следующую задачу Штурма-Лиувилля:
,
.
Легко убедиться в том, что данная задача будет иметь следующие собственные значения
(6)
и соответствующие им собственные функции
. (7)
Таким образом, остается исследовать аналог первой краевой задачи для уравнения
, (8)
где 
.
Решения уравнения (8) с отклоняющимся аргументом нейтрального типа будем искать в виде [4]:
, (9)
где: 
— неизвестные постоянные, причем 
.
Подставляя (9) в (8), получим
.
Откуда следует
, 
(10)
Так как , то
. (11)
Разрешая (11) относительно 
, находим
.
В случае 
уравнение (8) имеет только комплексное решение. В связи с этим остановимся на случае 
.
Подставляя в (9), получим:
,
где 
и 
связаны соотношением:
Таким образом, решение задачи А представимо в виде:
,
где 
определяется из краевых условий.
Доказательство того, что ряд
равномерно сходится вместе со своими производными до второго порядка включительно, проводится аналогично [5].
Список литературы:
1.Бжеумихова О.И., Лесев В.Н. О разрешимости второй краевой задачи для уравнения с отклоняющимся аргументом в прямоугольной области // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2011. — Т. 18, — № 2. — 250 с.
2.Бжеумихова О.И. Лесев В.Н. Об однозначной разрешимости задачи Неймана для эллиптического уравнения с отклоняющимся аргументом // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. — 2012. — № 3. — С. 41—46.
3.Бжеумихова О.И., Лесев В.Н. Применение метода Фурье к исследованию задачи Дирихле для уравнения с отклоняющимся аргументом и оператором Лапласа в главной части // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. — 2012. — № 81. — С. 128—137.
4.Жабоев Ж.Ж. и др. Решение уравнения колебания струны с отклоняющимся аргументом // Международная научно-практическая конференция «Современные проблемы гуманитарных и естественных наук». М., 2012. — С. 13—16.
5.Bzheumikhova O.I., Lesev V.N. Application of Fourier method to investigation of the Dirichlet problem for partial differential equations with deviating arguments // International Journal of Differential Equations and Applications. — 2013. — Vol. 12. — № 2. — P. 103—120.
6.Khasawneh F.A., Mann B.P., Barton D.A.W. Periodic solutions of nonlinear delay differential equations using spectral element method// Nonlinear dynamics. — Vol. 67. — № 1. — P. 641—658.
7.Li X., Yuan X. Quasi-periodic solutions for perturbed autonomous delay differential equations// Journal of differential equations. — Vol. 252. — № 6. — P. 3752—3796.