Научная статья по теме «О полувнутренних ω-спутниках ω-расслоенных формаций мультиоператорных т-групп»

АННОТАЦИЯ. Работа посвящена исследованию Ω-расслоенных формаций мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами (-формаций). Свойства таких формаций зависят от свойств двух описывающих их функций: Ω-спутника и направления. Целью данной статьи является исследование полувнутренних Ω-спутников -формаций для фиксированного направления. При исследовании используются методы доказательств теории классов групп. В статье доказано существование максимального полувнутреннего Ω-спутника -формации с bAr-направлением для некоторой простой -группы А и получено описание его строения.

ABSTRACT

This article is devoted to Ω-foliated formations of multioperator T-groups with finite composition series (-formations). Properties of such formations depend on the properties of the two functions which describe: Ω-satellite and direction. The purpose of this paper is to study semi-inner Ω-satellites of -formations for a fixed direction. In the study used methods of proof of the theory of classes of groups. In this article we proved the existence of the maximum semi-inner Ω-satellite of -formation with bAr-direction for some simple -group A, and described its structure.

Ключевые слова : мультиоператорная Т-группа; формация Т-групп; Ω-расслоенная формация Т-групп; Ω-спутник Ω-расслоенной формации.

Keywords: multioperator T-group; formation of T-groups; Ω-foliated formation of T-groups; Ω-satellite of Ω-foliated formation.

Аддитивная группа G с нулевым элементом 0 называется мультиоператорной Т-группой с системой мультиоператоров Т или, коротко, Т-группой, если в G задана некоторая система n-арных алгебраических операций Т для некоторых n>0, причем t(0,…,0)=0 для всех t∈T (см., например [4, с. 355]). Частными случаями мультиоператорных Т-групп являются такие важные виды алгебр, как группы, кольца, модули, мультикольца.

В теории классов конечных групп центральное место занимают классы, называемые формациями. Основные положения теории формаций конечных групп изложены в монографии Л.А. Шеметкова [5]. В 2009 году В.А. Ведерниковым были введены в рассмотрение Ω-расслоенные формации мультиоператорных Т-групп [1]. Изучением различных видов Ω-расслоенных формаций Т-групп занимались Корпачева М.А., Демина Е.Н., Сорокина М.М. и другие (см., например [2—3]).

Как отмечено в [1], при изучении Ω-расслоенных формаций Т-групп существенную роль играют различные виды Ω-спутников. В [2] изучается строение минимальных, полных, максимальных внутренних Ω-спутников Ω-расслоенных формаций Т-групп. Л.А. Шеметков и А.Н. Скиба в монографии [6] рассматривают полувнутренние экраны композиционных формаций. Следуя [6], в настоящей работе вводится определение полувнутреннего Ω-спутника Ω-расслоенной формации Т-групп и приводится описание строения максимального полувнутреннего Ω-спутника Ω-расслоенной формации Т-групп с bAr-направлением, где А — некоторая простая Т-группа.

Основные определения и обозначения, используемые в работе, можно найти в [1]. Приведем лишь некоторые из них. Через обозначается класс всех мультиоператорных Т-групп с конечными композиционными рядами [1, с. 4]. Все рассматриваемые здесь группы принадлежат классу . Формацию (группу), содержащуюся в (принадлежащую ), называют -формацией (-группой). Пусть — класс всех простых -групп, Ω — непустой подкласс класса , (G) — класс всех -групп, изоморфных композиционным факторам -группы G; Ω=(G∈ | (G)⊆Ω). Пусть A∈. Тогда A’=(А), A=(A). Через Gобозначается — радикал -группы G, где – непустой класс Фиттинга -групп. OA(G) и OΩ(G) — A-радикал и Ω-радикал -группы G соответственно. Пусть 1 и 2 — классы -групп. Тогда 12=(G∈: G имеет идеал N∈1 с G/N∈2). Пусть f:Ω∪{Ω’}→{-формации}, g:→{-формации}, φ:→{непустые -формации Фиттинга} — ΩF-функция, F-функция и FR-функция соответственно. Все рассматриваемые функции принимают одинаковые значения на изоморфных -группах из области определения. -формация ΩF(f,φ)=(G∈C: G/OΩ(G)Îf(Ω’) и G/Gφ(A)Îf(A) для всех АÎΩÇ(G)) называется Ω-расслоенной -формацией с Ω-спутником f и направлением φ; -формация F(g,φ)=(G∈C: G/Gφ(A)Îg(A) для всех АÎ(G)) называется расслоенной -формацией со спутником g и направлением φ [1, с. 8]. Направление φ Ω-расслоенной -формации называется bAr-направлением, где A∈, если φ является bA-направлением, т. е. φ(A)A=φ(A), и φ является r-направлением, т. е. B’ φ(B)=φ(B) для любой простой -группы B [1, с. 10].

Определение 1. Следуя [6, с. 149], Ω-спутник f Ω-расслоенной -формации назовем полувнутренним Ω-спутником, если из f(A)= следует, что f(A)⊆, для всех А∈{Ω’}ÈΩ. Аналогично, f — полувнутренний спутник расслоенной -формации , если из f(A) следует, что f(A)⊆, для любой -группы А∈.

Максимальным полувнутренним Ω-спутником (спутником) Ω-расслоенной (расслоенной) -формации называется максимальный элемент множества всех полувнутренних Ω-спутников (спутников) -формации .

Теорема 1. Пусть – Ω-расслоенная -формация с bAr-направлением φ, где А∈Ω Тогда обладает максимальным полувнутренним Ω-спутником f, удовлетворяющим условию: если f(A) , то f(A)=А h(A), где h – произвольный полувнутренний Ω-спутник -формации

Доказательство. Ввиду леммы 6 [1, с. 9], Ω-расслоенная -формация обладает внутренними Ω-спутниками. Поскольку всякий внутренний Ω-спутник -формации удовлетворяет определению 1, то множество всех полувнутренних Ω-спутников -формации не пусто. Пусть h — произвольный полувнутренний Ω-спутник -формации , А∈Ω Так как φ—bA-направление, то по лемме 9 [1, с. 18] -формация обладает Ω-спутником f таким, что f(A)=Аh(A) и f(B)=h(B), для всех BÎ{Ω’}È(Ω(A)).

Покажем, что f является полувнутренним Ω-спутником -формации . Действительно, для любого BÎ{Ω’}È(Ω(A)) либо h(B)=, либо h(B)⊆. Поэтому из f(B) следует, что f(B)⊆, для всех BÎ{Ω’}È(Ω(A)). Далее, если h(A)=, то f(A)=А h(A)=А=. Пусть h(A). Тогда по определению 1 h(А)⊆. Покажем, что f(A)⊆. Допустим, f(A)⊈ и G—-группа с наименьшей длиной главного ряда из f(A). Тогда G является монолитической группой с монолитом P=G. Покажем, что G/OA(G)∈. Если OA(G)={0}, то из G∈f(A)=Аh(A) следует, что G∈h(A), и ввиду h(А)⊆, получаем G∈. Противоречие. Следовательно, OA(G){0}. Тогда P⊆OA(G) и G/OA(G)@(G/P)/(OA(G)/P)∈. Таким образом, G/OA(G)∈. Поскольку G∈f(A), то G/Gφ(A) ∈f(A)=Аh(A). Согласно лемме 9 [1, с. 18], OA(G/Gφ(A))={0}. Следовательно, G/Gφ(A)@(G/Gφ(A))/OA(G/Gφ(A)∈h(A). Так как φ является r-направлением, то по лемме 7 [1, с. 10] получаем G∈ΩF(h,φ)=. Противоречие. Следовательно, f(A)⊆, и значит, f является полувнутренним Ω-спутником -формации . Из строения Ω-спутника f вытекает, что h≤f . Поэтому f — максимальный полувнутренний Ω-спутник -формации . Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть – расслоенная -формация с bAr-направлением φ, где А∈ Тогда обладает максимальным полувнутренним спутником f, удовлетворяющим условию: если f(A), то f(A)=А h(A), где h — произвольный полувнутренний спутник -формации .

Список литературы:

1.Ведерников В.А., Демина Е.Н. W-расслоенные формации мультиоператорных Т-групп // Препринт. М.: МГПУ, — 2009. — № 4. — С. 1—27.

2.Ведерников В.А., Демина Е.Н. Ω-расслоенные формации мультиоператорных Т-групп // Сиб. матем. ж. — 2010. — Т. 51. — № 5. — С. 990—1009.

3.Корпачева М.А., Сорокина М.М. О критических Ω-биканонических и Ω-канонических формациях мультиоператорных Т-групп // Тезисы докладов международной конференции по алгебре и геометрии, посвященной 80-летию со дня рождения  А.И. Старостина. Екатеринбург, 2011. — с. 92—94.

4.Общая алгебра. Т. 2. Под редакцией Л.А. Скорнякова. М.: Наука. 1991. — 480 с.

5.Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978. — 272 с.

6.Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1978. — 256 с.