Научная статья по теме «Сравнение метода Ляпунова и метода поляризации»

АННОТАЦИЯ. В статье рассматривается эффективность метода поляризации при исследовании нестационарных динамических систем. Привлекаются новые терминологии, не встречающиеся в теории устойчивости, в теории показателей Ляпунова, в частности.

ABSTRACT

The article considers efficiency of the method of polarization when studying nonstationary dynamical systems. New terminologies are used, which do not encounter in the stability theory, namely in Lyapunov’s theory.

Ключевые слова : носитель поляризации; условия поляризации; поляризующий множитель (матрица; деполяризующий множитель; разрешающее уравнении; устранение носителей поляризации.

Keywords : polarization support; polarization environment; polarizing factor; matrix; depolarizing factor; resolvent equation; smoothing of polarization supports.

Метод Ляпунова

Рассматривается устойчивость тривиального решения уравнения Хил-ла частного вида [1]

  , (1)

( — вещественная непрерывная периодическая функция, предполагаемая неотрицательной), краткое изложение существа метода в данных работах дано [1]. В основе метода лежит характеристическая постоянная, которая определяется фундаментальной системой, которая неизвестна.

Изложим кратко существо метода Ляпунова. Обозначим, следуя Ляпуно-ву, через и   вещественные решения уравнения (1) с начальными условиями

, , , . (1а)

Тогда характеристическое уравнение

det .

В развернутом виде

. (2)

Постоянная

(3)

названа Ляпуновым характеристической постоянной уравнения (1). Корни характеристичного уравнения (мультипликаторы уравнения (1)) суть

.

Неравенство А<1 и есть необходимое и достаточное условие устойчивости тривиального решения данного уравнения. Этот метод не может быть эффективным, ибо фундаментальная система уравнения Хилла неизвестна.

Далее, рассматривается частный вид уравнения Хилла

p(t) (4)

где p(t) вещественная интегрируемая на (0,Т), непрерывная, периодическая функция с периодом Т. Рассматривается следующие интегралы

А= chat, (5)

A =sha(T-t)

=,

A =,)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A=(n=3,4,…)(6)

ТЕОРЕМА1. Пусть постоянные   определяются формулами

(7)

где даны формулами (5)—(6). Каждое из следующих условий

Устойчивость Неустойчивость

  (8)

является достаточным условием устойчивости тривиального решения уравнения (1).

Если уравнение ( 4) не имеет Т-периодических или Т-антипериодических решений, то начиная с некоторого номера будет выполняться указанные условия устойчивости или неустойчивости тривиального решения уравнения (4).

Итак, окончательно, если исключить особый случай , то, вычисляя последовательно коэффициенты   по формулам(7), (8), а затем   по формуле (8), мы установим через конечное число шагов, что выполнено одно из условий (8). через конечное число шагов будет установлен факт устойчивости или неустойчивости тривиального решения уравнения (4).

Описанный метод установления устойчивости или неустойчивости тривиального решения уравнения (4)с помощью условий (1а) и называется методом Ляпунова.

Здесь, во-первых, утверждение, что “через конечное число шагов” расплывчато, во-вторых, характеристическая функция определяется через неизвестную фундаментальную систему, в- третьих, ничего неизвестно о том номере, с какого номера может выполняться устойчивость или неустойчивость решений. Этот метод также называется методом Ляпунова. Метод развит для частного случая уравнения Хиллала.

II .Метод поляризации

В работах   разработан новый метод исследования свободных колебаний нестационарных динамических систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с периодическими коэфФициентами.

В дальнейшем, этот метод будем называть методом поляризации.

Здесь мы приводим примеры, которые не могут быть решены методом Ляпунова

Задача 1.

.      (1)

cost =e

a= 0, a=, a=, d2aa=0.5,

В равенстве d(0)=a+2aa, а=0.так что в

a =0, a=, a=, d2aa=0.5,

2 ,

Поэтому вычисляя показателей Ляпунова по формуле

-0,4571859883 — младший показатель

— старший показатель

Задача 2. Для уравнения

  (2)

можно получить те же самые результаты.

В работе [5] А.Ф. Филиппов рассматривая систему 2-х уравнений, в качестве примера берет (2) и, для старшего показателя Ляпунова

Он предполагает, что «точное значение   около 0.442». Вычисление производилось в конечномерном пространстве и ограничивалось оценкой старшего показателя.

Таким образом, из вышеизложенного следует

ТЕОРЕМА 2. Тривиальные решения уравнений и (2) неустойчивы.

Задача 3. Доказать, что уравнения

(4)

+сost.x=o. (5)

имеют одни и те же показатели.

В самом деле, имеем

sin ,

a =, a= и d2aa = =0,28125

убедимся, что 2.Поэтому вычислим   по формуле,

,

где .

Отсюда для старшего показателя

Задача 4. Найти значение бесконечного определителя соответствующего уравнению

+ cos.

где

а= ,a=a=0,

т. к. данное разложение не содержит нечетных степеней экспоненты.

Следовательно, имеем

d =.

Аналогично, для уравнения

Как видим, показатели уравнений (4),(5) совпадают. Легко заметить, что их неустойчивости обусловлены неустойчивостями (1) и (2). Cледует отметить, что в настоящее время существующие методы, не смогут вычислять показателей Ляпунова для уравнений (1)-(5).

Здесь метод Ляпунова без силен. Для удобства сравнения двух методов, метода Ляпунова и метода поляризации, мы здесь приводим ранее полученные результаты (теорема 3.7.1, следствие 3.4.1).

ТЕОРЕМА 3. Если ,   

если

То

x

x = ez—,

z (t)=, z (t)= — периодические функции,

образуют фундаментальную систему.

ТЕОРЕМА 4 . Если

(a+2аа<0, a

то система функций

x (t)=e,

=ln(+);

x (t)=e,

=ln(-+)

образуют фундаментальную систему, где

z (t)=, z(t)= — есть периодические функции.

Все встречающиеся здесь ряды представляют собой абсолютно сходящиеся ряды миноров к-ой строки нормальной матрицы, где хотя бы один минор отличен от нуля; если таких строк много, то в качестве к можно взять любую из них, причем каждый минор есть нормальный определитель декремента 1.

Заметим, что метод Ляпунова для уравнения (4) допускает существование непериодических и антипериодических решений, тогда как метод поляризации устанавливает, что уравнение Хилла с периодическим коэффициентом всегда имеет периодическое решение .

Список литературы:

1.Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука., 1972. — 718 с.

2.Карасаев И.К. Построение характеристического уравнения //ВЕСТНИК Кыргызско-Российского Славянского университета — 2010. — Том 10, — № 9. — С. 115—122.

3.Карасаев И.К. Построение фундаментальной системы уравнения Хилла//ВЕСТНИК Кыргызско-Российского Славянского университета — 2010. — том 10, — № 9. — С. 115—122.

4.Карасаев И.К. Об одном методе исследования уравнения Хилла //Дифференц. уравнения, — 2010, — том 46, — № 11, — 1 с.

5.Филиппов А.Ф. О свойствах решений линейной системы с квазипериодическими коэффициентами // Математ. заметки. — 1990. — т. 47, — вып. 2. — С. 124—129.