Цель работы — ознакомление студентов с одним из методов оптимизации производственной программы предприятия, приобретение практических навыков выбора наилучшего решения из множества вариантов.
Содержание
Введение
1. Организационно-экономическая сущность задачи
2. Оптимизация производственной программы
3. Математическая постановка задачи и метод её решения
3.1 Формализация задачи
3.2 Метод решения 3.3 Решение задачи
Вывод
Библиографический список
Введение
Цель работы — ознакомление студентов с одним из методов оптимизации производственной программы предприятия, приобретение практических навыков выбора наилучшего решения из множества вариантов.
1. Организационно-экономическая сущность задачи
Производственная программа — это задание по производству и реализации определенного количества продукции установленной номенклатуры и качества.
Номенклатурой продукции называется классифицированный перечень изделий, выпускаемых предприятием. Задания по количеству выпускаемой продукции устанавливаются исходя из народнохозяйственных потребностей в продукции определенного вида, а также имеющихся производственных ресурсов.
Производственная программа занимает ведущее место среди показателей производственно-хозяйственной деятельности предприятия. На ее основе определяется потребность в материально-технических и трудовых ресурсах, величина дохода и прибыли, получаемых предприятием, уровень рентабельности.
В условиях перехода к рыночной экономике целью деятельности каждого экономического субъекта становится максимизация его доходов и прибылей. Величина получаемого предприятием дохода непосредственно зависит от номенклатуры и объема выпускаемой продукции.
Показатели производственной программы устанавливаются в натуральном и в стоимостном выражении. Натуральные показатели определяют объем производства каждого вида продукции. На этой основе рассчитывается объем производства в денежном выражении по показателям товарной, валовой и реализованной продукции и возможная величина дохода предприятия.
Товарная продукция характеризует объем продукции, предназначенной для реализации на сторону, своему капитальному строительству и для непромышленных нужд и включает стоимость готовых изделий, стоимость полуфабрикатов, выработанных основным и вспомогательным производствами и предназначенных к продаже, стоимость работ, выполняемых по заказам со стороны.
Валовая продукция — это общий объем производства на предприятии, определяется как товарная продукция с учетом изменения остатков незавершенного производства.
Реализованная продукция определяется как стоимость предназначенных к отгрузке и подлежащих оплате в рассматриваемом периоде готовых изделий, полуфабрикатов и услуг; определяется как объем товарной продукции с учетом изменения остатков готовой продукции на складах и неоплаченных остатков готовой продукции.
2. Оптимизация производственной программы
Задача оптимизации производственной программы может быть сформулирована в двух вариантах:
определение производственной программы, позволяющей получить наилучший результат (максимальный доход, прибыль) при заданных объемах ресурсов;
определение производственной программы, обеспечивающей получение заданного объема производства при наименьших затратах.
3. Математическая постановка задачи и метод её решения 3.1 Формализация задачи
Пусть 
— нормативная трудоемкость изготовления одного изделия j-го типа (чел.-час);
— нормативная металлоемкость одного изделия j-го типа (кг);
в1 — суммарная трудоемкость производственной программы предприятия (чел.-час);
в2 — суммарная металлоемкость производственной программы предприятия (кг);
Сj — отпускная цена одного изделия j- го типа (руб.);
Хj- объем производства (количество) изделий j-го типа (шт.); j = 1, 2, 3.
Необходимо определить оптимальную производственную программу предприятия Х0 = (
), т.е. такое распределение объемов производства Х = (
), при котором достигается наибольший доход:
+
+
= max (
+
+
),
().
При ограничениях на трудоемкость и металлоемкость:
+ 
+ 
= 
;
+ 
+ 
= 
.
В настоящей работе мы будем предполагать следующее:
— нормы трудоемкости и металлоемкости строго положительны:
> 0; i = 1,2; j = 1,2,3;
объемы производства неотрицательны 
0, 
0, 
0, так что если 
= 0, то изделие j-го типа не включается в производственную программу, i = 1, 2, 3;
оптимальная производственная программа (), где 
0, 
0, 
0 существует, т.е. ограничения трудоемкости и металлоемкости сбалансированы;
ограничения по трудоемкости и металлоемкости независимы в том смысле, что линейно независима любая пара из векторов (,), (,), (,).
В контрольном примере, рассмотренном ниже, а также во всех вариантах заданий, указанные предположения выполняются в реальных производственных программах.
3.2 Метод решения
В пространстве переменных () каждое из ограничений вида 
+ 
+ 
= 
по трудоемкости или металлоемкости определяет плоскость 
, проходящую через точки:
(= /, = 0, = 0) 
,
(= 0, = /, = 0) ,
(= 0, = 0, = /) ,= 1, 2.
Пример изображения этих плоскостей приведен на рис. 1.
Точки, лежащие на линии пересечения плоскостей 
и 
, удовлетворяют ограничениям по трудоемкости и металлоемкости одновременно. При этом линия пересечения существует в силу принятого предположения об отсутствии взаимной зависимости ограничений.
Наконец, условия 0, 0, 0 определяют отрезок линии пересечения плоскостей и , лежащий между координатными плоскостями. Такой отрезок тоже существует в силу сбалансированности ограничений. Точки отрезка (и только они) удовлетворяют всем ограничениям и предположениям, принятым в задаче.
Целевая функция y = ++ является линейной по переменным () и, следовательно, достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах построенного отрезка, один из которых и является решением задачи.
3.3 Решение задачи
Приведем пример оптимизации производственной программы предприятия при ограничениях на трудоемкость и металлоемкость.
Нормы трудоемкости изготовления трех изделий имеют значения:
= 2,2 (чел.-час); = 0,8 (чел.-час); = 0,2 (чел.-час),
а нормы металлоемкости тех же изделий — значения:
= 7 (кг); = 0,8 (кг); = 5 (кг).
= 8800 (чел.-час),
а суммарная металлоемкость —
= 28000 (кг).
Изделия отпускаются с предприятия по ценам за штуку:
= 20000 (руб); 
= 6000 (руб); 
= 12000 (руб).
Задача оптимизации производственной программы предприятия может быть сформулирована следующим образом: указать производственную программу (распределение объемов производства изделий) (), при выполнении которой достигается наибольшее значение дохода предприятия:
= 20000
+ 6000
+ 12000;
,2 + 0,8 + 0,2 = 8800;
+ 0,8 + 5 = 60000;
0, 0, 0.
В пространстве переменных () первое из ограничений (по трудоемкости) определяет плоскость , проходящую через точки:
(= 8800/2,2= 4000, = 0, = 0) ;
(= 0, = 8800/0,8 = 11000, = 0) ;
(= 0, = 0, = 8800/0,2 = 44000) .
Графическое изображение этой плоскости приведено на рис. 1.
Второе ограничение (по металлоемкости) определяет плоскость 
, проходящую через точки:
(= 28000/7 = 4000, = 0, = 0) ;
(= 0, = 28000/0,8 = 35000, = 0) ;
(= 0, = 0, = 28000/5 = 5600) .
Плоскость также изображена на рис. 1.
Из графического изображения плоскостей-ограничений вытекает следующее:
линия пересечения плоскостей-ограничений существует и пересекает координатные плоскости = 0, = 0, = 0 в точках 
соответственно. Ограничения трудоемкости и металлоемкости линейно независимы;
условия 0, 0, 0 определяют отрезок линии пересечения, лежащей между координатными плоскостями = 0, = 0, а конец этого отрезка суть точки 
и 
. Следовательно, оптимальная производственная программа существует (ограничения по трудоемкости и металлоемкости сбалансированы) и реализуется либо в точке , либо в точке ;
точка содержит отрицательную вторую компоненту и производственной программой служить не может.
Находим координаты точки = (
) решая систему уравнений:
Получаем:
= 0;
= (8800*5 — 0,2*28000)/(0,8*5 — 0,2*0,8) = 10000;
= (0,8*28000 — 8800*0,8)/(0,8*5 — 0,2*0,8) = 4000.
Поскольку оба найденных решения неотрицательны и могут определять объемы производства, вычисляем значение целевой функции в точке :
= 6000*10000 + 12000*4000 =108000000.
Находим координаты точки 
= (
), решая систему уравнений:
Получаем:
= (8800*5 — 0,2*28000)/(2,2*5 — 0,2*7) = 4000;
= 0;
= (2,2*28000 — 8800*7)/(2,2*5 — 0,2*7) = 0.
Поскольку оба найденных решения неотрицательны и могут определять объемы производства, вычисляем значение целевой функции в точке :
= 20000*4000 + 6000*0 = 80000000.
При вычислении координат точки 
= (
) путем решения системы уравнений
получаем:
= (8800*0,8 — 0,8*28000)/(2,2*0,8 — 0,8*7) = 4000;
= (2,2*28000 — 8800*7)/(2,2*0,8 — 0,8*7) = 0;
= 0.
Значение второй компоненты отрицательное, что ранее было замечено (см. рис. 1). В этом случае значение целевой функции можно вычислить:
=20000*4000 — 12000*0 = 80000000,
но согласно алгоритму решения задачи мы полагаем доход предприятия равным нулю, = 0.
Расположим полученные значения целевой функции в порядке возрастания:
≤ =
< .
=108000000; ==80000000
Можно видеть, что значение целевой функции второй и третей производственных программ равны. Опуская дробные части в значениях объемов производства, приходим к выводу:
объем производства первого типа изделий не следует включать в оптимальную производственную программу предприятия —
= 0;
— изделия второго типа запланировать в количестве
= 10000 (шт.);
объем производства изделий третьего типа запланировать в количестве
= 4000 (шт.).
При этом предприятие получит наибольший возможный доход:
= 6000*10000 + 12000*4000 = 108000000 (руб.), т.е. 108 млн. руб.
Или:
объем производства изделий первого типа запланировать в количестве
= 4000 (шт.);
изделия второго типа не следует включать в оптимальную производственную программу предприятия —
= 0;
объем производства изделий третьего типа запланировать в количестве
= 0 (шт.).
При этом предприятие получит наибольший возможный доход:
Незначительным резервом трудоемкости и остатком металла, получающимися в результате опускания дробных частей в значениях объемов производства, по существу задачи можно пренебречь.
Результаты расчетов представим в виде таблицы 1.
Таблица 1 Оптимальная производственная программа предприятия
Вывод
При определении оптимальной производственной программы в результате расчётов был получен максимальный доход 144 млн. руб., которому соответствует первая производственная программа.
По первой, объем производства продукции второго типа составляет 12000 шт., продукции третьего типа -10000 шт., а продукция первого типа не должна быть включена в оптимальную производственную программу предприятия.
По второй, объем производства продукции первого типа составляет 12000 шт., продукции третьего типа -5000 шт., а продукция второго типа не должна быть включена в оптимальную производственную программу предприятия.
Библиографический список
производственный программа оптимизация доход
1. Экономика машиностроительного производства / Под ред. И.Э. Берзиня и В.П.Калинина. — М.: Высшая школа, 1988.
. Экономика автомобильной промышленности и тракторостроения / Под ред. А.А. Невелева и В.И. Козырева. — М.: Высшая школа, 1989.
. В.Г. Карманов. Математическое программирование. — М.: Наука, 1975.
. Т. Ху. Целочисленное программирование и потоки в сетях. — М.: Мир, 1974.