Доказать, что сумма углов произвольного треугольника в евклидовом пространстве равна π

Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться следующей леммой.

Лемма: Для произвольных векторов u, v в евклидовом пространстве выполнено равенство:

cos(u, v) = -cos(v, u)

Доказательство леммы:

Рассмотрим треугольник с вершинами O, u, v и пусть α — угол между векторами u и v. Тогда:

cos(u, v) = (u, v) / ||u|| ||v|| = cosα

Аналогично, рассмотрев треугольник с вершинами O, v, u, получаем:

cos(v, u) = (v, u) / ||v|| ||u|| = cos(π — α) = -cosα

Таким образом, лемма доказана.

Теперь рассмотрим произвольный треугольник ABC с вершинами A, B, C и соответствующими сторонами a, b, c. Выберем произвольную точку O внутри треугольника и проведем из нее отрезки OA, OB, OC. Рассмотрим угол между векторами OA и OB. По теореме косинусов для треугольника OAB имеем:

cos(OAB) = (OA, OB) / ||OA|| ||OB|| = (a² + c² — b²) / 2ac

Аналогично можно вычислить углы OBC и OCA. Суммируя эти углы, получаем:

cos(OAB) + cos(OBC) + cos(OCA) = (a² + c² — b²) / 2ac + (b² + a² — c²) / 2ab + (c² + b² — a²) / 2bc

= (a²b² + b²c² + c²a² — a²b² — b²c² — c²a²) / 2abc

= 0

Таким образом, сумма косинусов углов треугольника ABC равна нулю. Поскольку косинус является убывающей функцией на интервале [0, π], то углы треугольника ABC образуют в этом порядке углы α, β, γ с соответствующими косинусами cosα = -cos(π — γ), cosβ = -cos(π — β), cosγ = -cos(π — α). Суммируя эти углы, получаем:

α + β + γ = π

Таким образом, сумма углов произвольного треугольника в евклидовом пространстве равна π.