Как решить уравнение в целых числах 5x + 3y=11?

Выразим х.

5х = 11+3у

х = (11+3у)/5

Для того, чтобы х получился целым числом, нужно, чтобы числитель 11+3у был кратен 5. Это возможно, если он равен числу, заканчивающемуся на 0 или 5, т.е. 11+3у = m0 или 11+3у = m5, где m — старшие разряды. Тогда 3у = m0 — 11 = k9 или 3y = m5 — 11 = k4, где k — старшие разряды. Для нахождения наименьшего целого числа, удовлетворяющего полученным условиям, нужно оставить только младший разряд, то есть разряд единиц.

3у = 9 3у = 4

у = 3 у = 4/3

Итак, наименьшим целым числом, удовлетворяющем условию, будет 3. Следующее число, кратное 5, будет на 5 больше найденного, т.е. 3+5=8, следующее — ещё на 5 больше и т.д.

Следовательно, для у можно записать

у = 3+5·n, где n =0; 1; 2; …; ∞

Отсюда найдём х:

х = (11+3·(3+5·n))/5 = (11+9+15·n)/5 = (20+15·n)/5 = 5·(4+3·n)/5 = 4+3·n, где n =0; 1; 2; …; ∞

Но целые числа бывают также отрицательными. Найдём решение для отрицательных чисел.

5х = 11-3·(-у)

x = (11-3·(-у))/5

Для того, чтобы х получился целым числом, нужно, чтобы числитель 11-3·(-у) был кратен 5. Это возможно, если он равен числу, заканчивающемуся на 0 или 5, т.е. 11-3·(-у) = m0 или 11-3·(-у) = m5, где m — старшие разряды. Тогда 3·(-у) = 11-m0 = k1 или 3·(-у) = 11-m5 = k6, где k — старшие разряды. Для нахождения наименьшего целого числа, удовлетворяющего полученным условиям, нужно оставить только младший разряд, то есть разряд единиц.

3·(-у) = 1 3·(-у) = 6

-y = 1/3 -y = 2

Итак, наименьшим целым числом, удовлетворяющем условию, будет 2. Следующее число, кратное 5, будет на 5 больше найденного, т.е. 2+5=7, следующее — ещё на 5 больше и т.д.

Следовательно, для у можно записать

-y = 2+5·n

y =-(2+5·n), где n = 0; 1; 2; …; ∞

Отсюда найдём х:

х = (11-3·(2+5·n))/5 = (11-6-15·n)/5 = (5-15·n)/5 = 5·(1-3·n)/5 = 1-3·n

Итоговый ответ:

Для диапазона отрицательных чисел:

y =-(2+5·n),

где n = 0; 1; 2; …; ∞

х =1-3·n,

Для диапазона положительных чисел:

у = 3+5·n,

где n =0; 1; 2; …; ∞

х = 4+3·n,