Пусть имеется цилиндр, высота которого — непрерывная функция угла (цилиндр не обязательно имеет плоский верх, но обязательно круглое основание). Докажите, что на этом цилиндре есть две диаметрал...

Чтобы доказать данное утверждение, рассмотрим функцию высоты цилиндра:

h: [0, 2π] -> ℝ

Здесь [0, 2π] — интервал угла, а ℝ — множество действительных чисел.

Так как высота цилиндра — непрерывная функция угла, то она принимает все значения на отрезке [min(h), max(h)]. Обозначим min(h) за h_min и max(h) за h_max.

По теореме Вейерштрасса о промежуточном значении, так как h непрерывна и принимает значения h_min и h_max на отрезке [0, 2π], она принимает все значения между h_min и h_max на этом отрезке.

То есть, существуют два угла a и b на отрезке [0, 2π], такие что h(a) = h_min и h(b) = h_max, при этом h(a) < h(b) или h(a) > h(b).

Пусть A и B — точки на цилиндре с углами a и b соответственно. Тогда точки A и B лежат на диаметрально противоположных сторонах цилиндра, так как углы a и b отличаются на π радиан (180 градусов).

Следовательно, для точек A и B имеем h(A) = h(a) = h_min и h(B) = h(b) = h_max.

Таким образом, мы показали, что на цилиндре существуют две диаметрально противоположные точки, у которых высота одинакова.