Научная статья по теме «Вычисление коэффициентов для метода линеаризации передаточной характеристики аналого-цифрового преобразователя»

Аннотация. В данной работе рассматриваются методы линеаризации передаточной характеристики аналого-цифровых преобразователей, основанные на спектральном анализе и на методе наименьших квадратов. Дается их сравнительная характеристика.

Abstract

This paper discusses the methods of linearization transfer characteristic of the analog-to-digital converters based on the spectral analysis and the method of least squares. Given a comparative description of these methods.

Ключевые слова: аналого-цифровой преобразователь; АЦП; дискретизация; интегральная нелинейность; дифференциальная нелинейность; спектральный анализ линеаризация; передаточная характеристика.

Keywords: analog-to-digital converter; ADC; digitization; integral nonlinearity; differential nonlinearity; linearization; transmitting characteristic; spectral analysis.

В данной работе дается сравнительная характеристика двух методов линеаризации передаточной характеристики аналого-цифровых преобразователей. Описание данных методик приведено в работах [2, 4, 5]. Кратко остановимся на их сути.

Спектральный метод линеаризации передаточной характеристики.

Спектральный метод линеаризации передаточной характеристики основан на спектральном анализе отклика аналого-цифрового преобразователя на тестовый сигнал. Исходя из спектрального состава отклика, строится аппроксимация нелинейной передаточной характеристики полиномом определенного порядка n.

Метод линеаризации, основанный на методе наименьших квадратов.

Метод линеаризации, основанный на методе наименьших квадратов, так же своей целью ставит аппроксимацию нелинейной передаточной характеристики полиномом определенного порядка n. Но в этом случае анализируется сам сигнал, а не его спектр.

Для сравнения рассмотрим задачу аппроксимации нелинейности передаточной характеристики полиномом степени m=5 обоими методами.

Рассмотрим некоторый тестовый сигнал, в результате аналого-цифрового преобразования которого мы получаем n=1024 выборок для анализа.

Считаем, что все действия выполняются последовательно — нет распараллеливания вычислительных потоков.

Оба метода состоят из двух этапов. Первый этап — подготовительный. На этом этапе на основе анализа входного и выходного сигналов строится аппроксимация передаточной характеристики. Второй этап — рабочий. На нем полученная на первом этапе аппроксимация используется для устранения нелинейности аналого-цифрового преобразователя. На втором этапе затраты вычислительных мощностей одинаковы, так как в обоих случаях строится гипотеза об истинном значении сигнала, используя полином одинаковой (в нашем случае) степени.

Первая задача данной работы — оценить зависимость затрат вычислительных ресурсов от разрядности аппроксимирующего полинома и от числа отсчетов выходного сигнала, взятых для анализа. Вторая задача — сравнить точность восстановления сигнала обоими методами. Третья задача — дать сравнительную характеристику описанных методик по результатам анализа первых двух задач.

Оценка затрат вычислительных ресурсов. Метод, основанный на МНК.

В основе метода, базирующегося на методе наименьших квадратов, лежит построение и решение системы уравнений (1):

                                                  (1)

где: Ek,jи Rj — вычисляются согласно (2), а ak — искомые коэффициенты аппроксимирующего полинома.

                                                     (2)

Как видно из приведенных соотношений, основные операции, производимые при вычислении коэффициентов — вычисление степени и накопление результата, а так же решение системы линейных алгебраических уравнений.

Оценим количество операций умножения, необходимых для построения аппроксимирующего полинома. Операции сложения много менее ресурсоёмки, соответственно их учитывать не будем.

Реализация данного метода на подготовительном этапе состоит также из двух этапов — построение СЛАУ и его решение. Вычислим количество операций умножения (N), затрачиваемых на вычисление каждого коэффициента в (2):

                                   (3)

Соответственно, на все коэффициенты затрачивается:

                      (4)

После упрощения и применения формул суммы арифметической прогрессии имеем:

                                          (5)

Согласно [1] число операций умножения, требуемых для решения СЛАУ прямыми методами (то есть точно), пропорционально размерности системы в третьей степени m3. В нашем случае, так как n >> m, значит, оценкой затрат на вычисление решения можно пренебречь. В таком случае, оценка числа операций, необходимых для нахождения коэффициентов аппроксимирующего полинома методом линеаризации, основанным на МНК, выглядит следующим образом:

N = nm3                                                (6)

Оценка затрат вычислительных ресурсов. Метод, основанный на спектральном анализе.

Согласно определению метода, для построения аппроксими­рующего полинома требуется вычисление преобразования Фурье сигнала, полученного с выходов аналого-цифрового преобразователя и формирование коэффициентов из гармоник сигнала.

Согласно [3], оценка числа операций для вычисления БПФ выглядит следующим образом:

N = niog2(n)                                         (7)

Числом операций на формирование полинома можно пренебречь по сравнению с .

Сравнение методик по затратам вычислительных ресурсов.

Исходя из соотношений (6) и (7), можно сделать вывод, что второй метод требует затрат вычислительных ресурсов на порядок меньше. При вычислении аппроксимирующего полинома по указан­ным в начале работы исходным данным получим в первом случае N~1024×53=128000 операций, во втором случае — N~10240 операций.

Сравнение методик по точности построения аппроксими­рующего полинома.

Для сравнения методик использовались следующие параметры сигнала и аналого-цифрового преобразователя:

1.         сигнал — отрезок синусоиды в полосе пропускания АЦП

2.         разрядность АЦП — 12 бит

3.         степень полинома — 5

4.         число отсчетов тестового сигнала — 1024

Данные сравнения по точности восстановления аппроксими­рующего полинома указаны в таблице.

Таблица 1.

Ошибка восстановления передаточной характеристики АЦП

Таким образом, можно сделать вывод, что спектральный метод линеаризации менее точен, чем метод, основанный на МНК.

Список литературы:

1.Баландин М.Ю. Методы решения СЛАУ большой размерности. / М.Ю. Баландин., Э.П. Шурина. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. — 70 с.

2.Грицутенко С.С., Панюков А.Г. Метод линеаризации характеристики преобразования АЦП. Известия Транссиба. — 2012. — № 3. — С. 78—83.

3.Малозёмов В.Н.. Подсчёт количества арифметических операций при вычислении БПФ. Семинар по дискретному гармоническому анализу и геометрическому моделированию (DHA & CAGD). — СПб, 2005.

4.Панюков А.Г. Метод линеаризации передаточной характеристики аналого-цифрового преобразователя, основанный на методе наименьших квадратов. Труды XI международной заочной научно-практической конференции Технические науки — от теории к практике. — 2012. — С. 107—112.

5.Панюков А.Г. Моделирование метода линеаризации передаточной характеристики аналого-цифрового преобразователя при воздействии белого шума. Труды XII международной заочной научно-практической конференции Технические науки — от теории к практике. — 2012. — С. 81—86.

Quality content is the crucial to be a focus for the visitors to pay a visit the web site, that’s what this website is providing.

my blog post; inclusion in education: http://basicmathsolutions.com/write-essay-in-french