Как решить уравнение теплопроводности методом фурье?
Ответить на вопрос
Математика
1059вопросов
Другое
631вопрос
Русский язык
298вопросов
Литература
124вопроса
Черчение
47вопросов
Химия
33вопроса
Физика
30вопросов
Информатика
19вопросов
Биология
18вопросов
История
18вопросов
Английский язык
16вопросов
Другие предметы
16вопросов
География
15вопросов
Право
10вопросов
Экономика
9вопросов
Социология
7вопросов
Обществознание
6вопросов
Физкультура
3вопроса
Психология
3вопроса
Теория вероятностей
3вопроса
Философия
2вопроса
Музыка
2вопроса
Окружающий мир
2вопроса
ОБЖ
1вопрос
Физкультура и спорт
1вопрос
Естествознание
0вопросов
Экология
0вопросов
Немецкий язык
0вопросов
Статистика
0вопросов
Казахский язык
0вопросов
Украинский язык
0вопросов
Украинская литература
0вопросов
МХК
0вопросов
Астрономия
0вопросов
Белорусский язык
0вопросов
Рассмотрим задачу о распространении тепла в стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре. Задача состоит в отыскании решения уравнения теплопроводности:
ut = a2uxx
при граничных условиях:
u|x=0 = 0; u|x=l = 0,
и при начальном условии:
u|t=0 = j(x),
где j(x) – непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и обращается в ноль при x = 0 и x = l.
Будем решать эту задачу методом Фурье. Согласно методу Фурье ищем сначала частные решения уравнения в виде произведения двух функций:
u(x,t) = X(x)×T(t).
Подставляя u(x,t) в исходное уравнение, имеем:
X(x)×T'(t) = a2T(t)X»(x).
Разделяем переменные
получаем два уравнения:
T'(t) + a2lT(t) = 0,
X»(x) + lX(x) = 0.
Чтобы получить нетривиальное решение уравнения в виде произведения двух функций, удовлетворяющее граничным условиям, необходимо найти нетривиальное решение уравнения:
X»(x) + lX(x) = 0,
удовлетворяющего граничным условиям:
X(0) = 0; X(l) = 0.
Таким образом, для определения функций X(x) мы приходим к задаче о собственных значениях, т.е. приходим к следующей задаче: найти такие значения параметра l, при которых существует нетривиальные решения, удовлетворяющие граничным условиям.