Как решить уравнение теплопроводности методом фурье?

Рассмотрим задачу о распространении тепла в стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре. Задача состоит в отыскании решения уравнения теплопроводности:

ut = a2uxx

при граничных условиях:

u|x=0 = 0; u|x=l = 0,

и при начальном условии:

u|t=0 = j(x),

где j(x) – непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и обращается в ноль при x = 0 и x = l.

Будем решать эту задачу методом Фурье. Согласно методу Фурье ищем сначала частные решения уравнения в виде произведения двух функций:

u(x,t) = X(x)×T(t).

Подставляя u(x,t) в исходное уравнение, имеем:

X(x)×T'(t) = a2T(t)X»(x).

Разделяем переменные

получаем два уравнения:

T'(t) + a2lT(t) = 0,

X»(x) + lX(x) = 0.

Чтобы получить нетривиальное решение уравнения в виде произведения двух функций, удовлетворяющее граничным условиям, необходимо найти нетривиальное решение уравнения:

X»(x) + lX(x) = 0,

удовлетворяющего граничным условиям:

X(0) = 0; X(l) = 0.

Таким образом, для определения функций X(x) мы приходим к задаче о собственных значениях, т.е. приходим к следующей задаче: найти такие значения параметра l, при которых существует нетривиальные решения, удовлетворяющие граничным условиям.